Question 1
$ \mathcal{F} (n^2u[n-2] - n^2 u[n+2]) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}(n^2u[n-2] - n^2 u[n+2])e^{ j\omega n}\, $
$ =\sum^{\infty}_{n = -\infty}(n^2(u[n-2] - u[n+2])e^{ j\omega n}\, $
$ = \sum^{2}_{n = -2}(n^2 e^{ j\omega n}\, $
$ = 4e^{2 j\omega } + 4e^{-2 j\omega } + e^{ j\omega } + e^{- j\omega }\, $
$ = 8\frac{e^{2 j\omega } + e^{-2 j\omega }}{2}+ 2\frac{e^{ j\omega } + e^{- j\omega }}{2} \, $
$ = 8\cos(2\omega) + 2\cos(-\omega)\, $
