Let x(t)= $ cos(t) $
Then
$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt $
$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}cos(t)e^{-j\omega t}dt $
$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}(e^{jt}+e^{-jt})e^{-j\omega t}dt $
$ X(\omega) = \frac{1}{2}(\int_{-\infty}^{\infty}e^{jt(1-\omega)}dt+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt(1+\omega)}dt) $
$ X(\omega) = \frac{1}{2}(\int_{-\infty}^{\infty}e^{jt(1-\omega)}dt+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt(1+\omega)}dt) $
$ X(\omega)={\left. \frac{e^{jt(1-\omega)}}{j(1-\omega))}\right]_{-\infty}^{\infty}} + {\left. \frac{e^{-jt(1-\omega)}}{-j(1+\omega))}\right]_{-\infty}^{\infty}} $
