Let x(t)= $ cos(t) $
Then
$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt $
$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}cos(t)e^{-j\omega t}dt $
$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}(e^{jt}+e^{-jt})e^{-j\omega t}dt $
$ X(\omega) = \frac{1}{2}(\int_{-\infty}^{\infty}e^{jt(1-\omega)}+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt(1+\omega)}) $
