| Line 92: | Line 92: | ||
=e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}dI BU | =e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}dI BU | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
| − | <math>X(\infty)=e^(Atrightarrow\infty)X(0)+0Bu=X(0)=\begin{ | + | <math>X(\infty)=e^(Atrightarrow\infty)X(0)+0Bu=X(0)=\begin{bmatrix} |
4 \\ | 4 \\ | ||
1 | 1 | ||
| − | \end{ | + | \end{bmatrix}</math> |
Revision as of 02:48, 21 May 2017
AC-2 2014
P1. （a）i） $ \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 &-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{x_0(t)}{2}\\ \frac{x_3(t)}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 &-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix}+begin{bmatrix} \frac{1}{2}&0 \\ 0& \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_0(t) \\ x_3(t) \end{bmatrix} $
ii) $ A=\begin{bmatrix} -1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $
$ e^A=\begin{bmatrix} e^{-1} & 0 \\ 0 & e^{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\frac{1}{2}} & 0 \\ 0 & e^\frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} & -e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} \\ -e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} & e^{-\frac{3}{2}}+e^{-\frac{1}{2}} \end{bmatrix} $
iii) $ \lambda _1=-\frac{1}{2} \lambda _2=-\frac{3}{2}\\ stable \\ X(t)\rightarrow X(\infty) \\ as \\ t\rightarrow \infty $ $ e^{At}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} & e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} \\ e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} & e^{-\frac{3}{2}t}+e^{-\frac{1}{2}t} \end{bmatrix} t\rightarrow \infty e^{At}\rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ $ X(t)=e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}BU dI \end{matrix} =e^{At}X(0)+\begin{matrix} \int_{0}^{t}e^{A(t-I)}dI BU \end{matrix} $ $ X(\infty)=e^(Atrightarrow\infty)X(0)+0Bu=X(0)=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} $
