| Line 83: | Line 83: | ||
0 & e^{2\sin t } | 0 & e^{2\sin t } | ||
\end{bmatrix}{\begin{bmatrix} | \end{bmatrix}{\begin{bmatrix} | ||
| − | e^{\sin | + | e^{\sin \iota} & -sin \iota e^{\sin \iota } \\ |
| − | 0 & e^{2\sin | + | 0 & e^{2\sin \iota } |
\end{bmatrix}}^{-1}</math> | \end{bmatrix}}^{-1}</math> | ||
| Line 92: | Line 92: | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
| − | <math>\lambda_1 =0 | + | <math>\lambda_1 =0 \quad \lambda_2=-1</math> |
| − | + | ||
| + | Marginally stable ,not asy , stable. | ||
b) <math>c=\begin{bmatrix} | b) <math>c=\begin{bmatrix} | ||
B & AB | B & AB | ||
| − | \end{bmatrix} | + | \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} |
1 & 0 \\ | 1 & 0 \\ | ||
1 & 0 | 1 & 0 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
| − | rank=1 | + | |
| − | not observable, unobservable subspace<math> \left\{ {\begin{bmatrix} | + | <math> rank=1 \neq 2</math> |
| + | |||
| + | not observable, unobservable subspace <math> \left\{ {\begin{bmatrix} | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
1 | 1 | ||
| − | \end{bmatrix} } \right\} | + | \end{bmatrix} } \right\}</math> |
c) <math>0=\begin{bmatrix} | c) <math>0=\begin{bmatrix} | ||
C \\ | C \\ | ||
CA | CA | ||
| − | \end{bmatrix} | + | \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} |
1 & -1 \\ | 1 & -1 \\ | ||
-1 & 1 | -1 & 1 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
| − | rank=1 | + | <math> rank=1 \neq 2</math> |
| + | |||
not observable, unobservable subspace<math> \left\{ {\begin{bmatrix} | not observable, unobservable subspace<math> \left\{ {\begin{bmatrix} | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
-1 | -1 | ||
| − | \end{bmatrix} } \right\} | + | \end{bmatrix} } \right\}</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | d) <math> \begin{align} | ||
| + | C(SI-A)^{-1}B & = \begin{bmatrix} | ||
| + | 1 \\ | ||
| + | -1 | ||
| + | \end{bmatrix}\begin{bmatrix} | ||
| + | \frac{S-1}{2S} &\frac{S+2}{2S} \\ | ||
| + | \frac{S+1}{-2S} & \frac{S-2}{2S} | ||
| + | \end{bmatrix}\begin{bmatrix} | ||
| + | 1 \\ | ||
| + | -1 | ||
| + | \end{bmatrix} \\ | ||
| + | & = \begin{bmatrix} | ||
| + | 1 & 1 | ||
| + | \end{bmatrix}\begin{bmatrix} | ||
| + | 1 \\ | ||
| + | 1 | ||
| + | \end{bmatrix}=2 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | e) i) false | ||
| + | ii) false | ||
f) <math>A-BK=\begin{bmatrix} | f) <math>A-BK=\begin{bmatrix} | ||
| Line 134: | Line 150: | ||
-1-k_1 & 1-k_2 | -1-k_1 & 1-k_2 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
| − | <math>\left| {\lambda-A+BK} \right|=\lambda^2+\left( {a+b+1} \right)\lambda+3a+3-ab=0 | + | <math>\left| {\lambda-A+BK} \right|=\lambda^2+\left( {a+b+1} \right)\lambda+3a+3-ab=0</math> |
| − | \lambda_1 =-3 | + | <math>\lambda_1 =-3 \quad and \quad \lambda_2=-1</math> |
<math>\begin{cases} | <math>\begin{cases} | ||
-3a + 9 -ab=0 \\ | -3a + 9 -ab=0 \\ | ||
| Line 142: | Line 158: | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
| − | a=0 ,b=3 | + | <math>a=0 ,b=3 k=\begin{bmatrix} |
0 & 3 \\ | 0 & 3 \\ | ||
\end{bmatrix} </math> | \end{bmatrix} </math> | ||
| − | + | g) <math>\begin{bmatrix} | |
| − | g)<math>\begin{bmatrix} | + | |
\lambda\Iota-A \\ | \lambda\Iota-A \\ | ||
C | C | ||
| − | \end{bmatrix} | + | \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} |
\lambda+2 & -2 \\ | \lambda+2 & -2 \\ | ||
1 & \lambda-1 \\ | 1 & \lambda-1 \\ | ||
1 & -1 | 1 & -1 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
| − | must contain <math>\lambda=0 | + | must contain <math>\lambda=0 ,no</math> |
Latest revision as of 00:01, 21 May 2017
p1 a) $ A=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} $
$ X(t)=\begin{bmatrix} X_1(t) \\ X_2(t) \end{bmatrix} $
$ \begin{cases} \dot{x}_1(t)=-X_1(t)+X_2(t) \\ \dot{x}_2(t)=-2X_2(t) \end{cases} $
$ \Phi(t)=\begin{bmatrix} \Phi_1(t) & \Phi_2(t) \\ \end{bmatrix} $
For $ \Phi_1(t) assume X_{(0)} =\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $
$ \begin{cases} \dot{x}_1(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -1\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_1(0)=e^{-t}\\ \dot{x}_2(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -2\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_2(0)=0 \end{cases} $
$ \therefore\Phi_1(t)=\begin{bmatrix} e^{-t} \\ 0 \end{bmatrix} $
$ For \quad \Phi_2(t) assume X_(0)=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $
$ X_2(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} -2\, \mathrm{d}t \end{matrix}} X_2(0)=e^{-2t} $
$ \Phi_(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} A\, \mathrm{d}t \end{matrix}}=e^{\begin{bmatrix} -t & t \\ 0 & -2t \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{-t} & te^{-t} \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix} $
$ \Phi_(t, \iota)=\Phi_(t)\Phi_(\iota)^-1=\begin{bmatrix} e^{-t} & te^{-t} \\ 0 & e^{-2t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\iota} & \iota e^{-\iota} \\ 0 & e^{-2\iota} \end{bmatrix} $
b) $ A=\begin{bmatrix} -\cos t & \cos t \\ 0 & -2\cos t \end{bmatrix} $
$ \Phi_(t)=e^{\begin{matrix} \int_{t}^{0} A\, \mathrm{d}t \end{matrix}} =\begin{bmatrix} e^{\sin t} & 0 \\ 0 & e^{2\sin t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & - \sin t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{\sin t} & - \sin t e^ {\sin t} \\ 0 & e^{2\sin t} \end{bmatrix} $
$ \Phi_(t, \iota)=\Phi_(t)\cdot \Phi_(\iota)^-1=\begin{bmatrix} e^{\sin t} & -sin t e^{\sin t } \\ 0 & e^{2\sin t } \end{bmatrix}{\begin{bmatrix} e^{\sin \iota} & -sin \iota e^{\sin \iota } \\ 0 & e^{2\sin \iota } \end{bmatrix}}^{-1} $
p2 a) $ \left| {\lambda\Iota-A} \right|=\begin{bmatrix} \lambda+2 & -2 \\ 1 & \lambda-1 \end{bmatrix} $
$ \lambda_1 =0 \quad \lambda_2=-1 $
Marginally stable ,not asy , stable.
b) $ c=\begin{bmatrix} B & AB \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $
$ rank=1 \neq 2 $
not observable, unobservable subspace $ \left\{ {\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} } \right\} $ c) $ 0=\begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $
$ rank=1 \neq 2 $
not observable, unobservable subspace$ \left\{ {\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} } \right\} $
d) $ \begin{align} C(SI-A)^{-1}B & = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{S-1}{2S} &\frac{S+2}{2S} \\ \frac{S+1}{-2S} & \frac{S-2}{2S} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=2 \\ \end{align} $
e) i) false
ii) false
f) $ A-BK=\begin{bmatrix} -2-k_1 & 2-k_2 \\ -1-k_1 & 1-k_2 \end{bmatrix} $ $ \left| {\lambda-A+BK} \right|=\lambda^2+\left( {a+b+1} \right)\lambda+3a+3-ab=0 $
$ \lambda_1 =-3 \quad and \quad \lambda_2=-1 $ $ \begin{cases} -3a + 9 -ab=0 \\ 2a - b+3-ab=0 \end{cases} $
$ a=0 ,b=3 k=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ \end{bmatrix} $
g) $ \begin{bmatrix} \lambda\Iota-A \\ C \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda+2 & -2 \\ 1 & \lambda-1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $ must contain $ \lambda=0 ,no $
