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| − | == Hypothesis Testing == | + | == Hypothesis Testing == |
'''模式识别''' 的目标是将新观察的特征向量进行分类。为了进行分类的决定，需要通过魔钟'''判决规则(decision rule)'''。在 '''统计学模式识别''' 一般假设特征向量是个随机变量“X”，又有个概率密度函数或者概率质量函数，并且此函数依赖其分类。如下假设有两个类型：（<span class="texhtml">ω<sub>1</sub>,ω<sub>2</sub></span>）, 以便写公式也不失一般性。如此X的概率密度或质量函数是<span class="texhtml">''P''(''X'' | ω<sub>''i''</sub>)</span> (如下称pdf)。每个类型的'''先验概率'''写成<span class="texhtml">''P''(ω<sub>''i''</sub>)</span>。 | '''模式识别''' 的目标是将新观察的特征向量进行分类。为了进行分类的决定，需要通过魔钟'''判决规则(decision rule)'''。在 '''统计学模式识别''' 一般假设特征向量是个随机变量“X”，又有个概率密度函数或者概率质量函数，并且此函数依赖其分类。如下假设有两个类型：（<span class="texhtml">ω<sub>1</sub>,ω<sub>2</sub></span>）, 以便写公式也不失一般性。如此X的概率密度或质量函数是<span class="texhtml">''P''(''X'' | ω<sub>''i''</sub>)</span> (如下称pdf)。每个类型的'''先验概率'''写成<span class="texhtml">''P''(ω<sub>''i''</sub>)</span>。 | ||
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统计学的主要部分之一是'''假设检验'''。下面描述假设检验在统计学模式识别的眼神。 | 统计学的主要部分之一是'''假设检验'''。下面描述假设检验在统计学模式识别的眼神。 | ||
| − | == 贝叶斯（Bayes)判决规则 == | + | == 贝叶斯（Bayes)判决规则 == |
将<span class="texhtml">''g''<sub>''i''</sub>(''X'')</span> 是<span class="texhtml">ω<sub>''i''</sub></span>的'''后验概率(posterior probability)'''。选<span class="texhtml">ω<sub>1</sub></span>或<span class="texhtml">ω<sub>2</sub></span>的判决规则为: 如果<span class="texhtml">''g''<sub>1</sub>(''X'') > ''g''<sub>2</sub>(''X'')</span>,就选<span class="texhtml">ω<sub>1</sub></span>, 不然选<span class="texhtml">ω<sub>2</sub></span>。据贝斯定理, 判决规则能以 '''似然比(likelihood ratio)'''<span class="texhtml">''l''(''X'')</span> 表示: | 将<span class="texhtml">''g''<sub>''i''</sub>(''X'')</span> 是<span class="texhtml">ω<sub>''i''</sub></span>的'''后验概率(posterior probability)'''。选<span class="texhtml">ω<sub>1</sub></span>或<span class="texhtml">ω<sub>2</sub></span>的判决规则为: 如果<span class="texhtml">''g''<sub>1</sub>(''X'') > ''g''<sub>2</sub>(''X'')</span>,就选<span class="texhtml">ω<sub>1</sub></span>, 不然选<span class="texhtml">ω<sub>2</sub></span>。据贝斯定理, 判决规则能以 '''似然比(likelihood ratio)'''<span class="texhtml">''l''(''X'')</span> 表示: | ||
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以上的<span class="texhtml">''R''<sub>''i''</sub></span> 定义为决策规则决定选 <span class="texhtml">ω<sub>''i''</sub></span>的领域，然后 <span class="texhtml">ε<sub>''i''</sub></span> 是<span class="texhtml">''L''<sub>''i''</sub></span>选错的概率。 | 以上的<span class="texhtml">''R''<sub>''i''</sub></span> 定义为决策规则决定选 <span class="texhtml">ω<sub>''i''</sub></span>的领域，然后 <span class="texhtml">ε<sub>''i''</sub></span> 是<span class="texhtml">''L''<sub>''i''</sub></span>选错的概率。 | ||
| − | == Neyman-Pearson 测试 == | + | == Neyman-Pearson 测试 == |
| − | === 统计学模式识别与统计学假设检验之间的关系<br> === | + | === 统计学模式识别与统计学假设检验之间的关系<br> === |
| − | 如果你曾经上过入门的统计学课，你大概能想起传统的 '''假设检验'''. 如下为例子: <br> | + | 如果你曾经上过入门的统计学课，你大概能想起传统的 '''假设检验'''. 如下为例子: <br> |
<blockquote> | <blockquote> | ||
| − | 一位人类学研究者对一名太平岛部落，认为此部落预期寿命比一般人长。把 <span class="texhtml">μ</span> 定义为此部落预期寿命。全世界人口的预期寿命是67.2年。为了检验他的假设，他从公开记录随机选出了100个讣告作为随机样本, | + | 一位人类学研究者对一名太平岛部落，认为此部落预期寿命比一般人长。把 <span class="texhtml">μ</span> 定义为此部落预期寿命。全世界人口的预期寿命是67.2年。为了检验他的假设，他从公开记录随机选出了100个讣告作为随机样本,发现样本平均预期寿命是72，样本表春差是15。把 Xbar 定义为样本平均值，样本标准差 S，而且由于两都是来自随机样本，两都是随机变量。由于 然后用如下的假设检验. |
| − | 零假设 (H0): < | + | 零假设 (H0): <math>\mu - 67.2 = 0</math> |
| − | 对立假设(Ha): mu | + | 对立假设(Ha): <math>\mu - 67.2 > 0 </math> |
| − | + | 检验统计量: <math> T = \frac{\bar{X} - 67.5}{\sqrt{(S^{2})/N}} \sim N(0,1) </math>. | |
| − | + | 决策规则: 若 <math> T < Z_{\frac{\alpha}{2}} \parallel T > Z_{\frac{1-\alpha}{2}} </math> 则选H0不然选Ha. | |
| + | </blockquote> | ||
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| − | + | 如上的 <math>\alpha = </math '''P'''(判决规则让选Ha | H0正确) = '''P'''('''第一型错误''')。 反而'''第二型错误'''是判决规则让选H0|Ha正确.一般在这种假设检验，控制第一型錯誤的概率是最有限考虑。 | |
| − | + | ||
| − | + | 从统计学模式识别的角度上看此假设检验，H0 和 HA是两种类别。随机特征向量是 T。研究者从T抽一次抽样值 t=（72 － 67.2）/(15 * 15 / 100) = 2。 | |
在这<br> | 在这<br> | ||
Revision as of 10:15, 2 May 2014
Hypothesis Testing
模式识别 的目标是将新观察的特征向量进行分类。为了进行分类的决定，需要通过魔钟判决规则(decision rule)。在 统计学模式识别 一般假设特征向量是个随机变量“X”，又有个概率密度函数或者概率质量函数，并且此函数依赖其分类。如下假设有两个类型：（ω1,ω2）, 以便写公式也不失一般性。如此X的概率密度或质量函数是P(X | ωi) (如下称pdf)。每个类型的先验概率写成P(ωi)。
统计学的主要部分之一是假设检验。下面描述假设检验在统计学模式识别的眼神。
贝叶斯（Bayes)判决规则
将gi(X) 是ωi的后验概率(posterior probability)。选ω1或ω2的判决规则为: 如果g1(X) > g2(X),就选ω1, 不然选ω2。据贝斯定理, 判决规则能以 似然比(likelihood ratio)l(X) 表示:
$ \begin{align} & g_1(X) > g_2(X) \\ \Rightarrow & P(\omega_1|X) > P(\omega_2|X) \\ \Rightarrow & \frac{P(X|\omega_1)P(\omega_1)}{P(X)} > \frac{P(X|\omega_2)P(\omega_2)}{P(X)} \\ \Rightarrow & P(X|\omega_1)P(\omega_1) > P(X|\omega_2)P(\omega_2) \\ \Rightarrow & l(X)=\frac{P(X|\omega_1)}{P(X|\omega_2)} > \frac{P(\omega_2)}{P(\omega_1)} = k \end{align} $
k 是个常数,而且由于 P(ω2) = 1 − P(ω1), k 可以看待是先验概率的比值（odds) 。为了评估判决规则的效果，需要计算錯誤的概率。假如 r(X) = m'i'n[g1(X),g2(X)]。贝叶斯错误(Bayes error)定义为：
$ \begin{align} \\ \epsilon & = E(r(X)) = \int min(P(\omega_1)P(X|\omega_1), P(\omega_2)P(X|\omega_2))dX \\ &= P(\omega_1) \int_{R_2}P(X|\omega_1)dX + P(\omega_2) \int_{R_1} P(X|\omega_2)dX \\ &= P(\omega_1)\epsilon_1 + P(\omega_2)\epsilon_2 \end{align} $
以上的Ri 定义为决策规则决定选 ωi的领域，然后 εi 是Li选错的概率。
Neyman-Pearson 测试
统计学模式识别与统计学假设检验之间的关系
如果你曾经上过入门的统计学课，你大概能想起传统的 假设检验. 如下为例子:
一位人类学研究者对一名太平岛部落，认为此部落预期寿命比一般人长。把 μ 定义为此部落预期寿命。全世界人口的预期寿命是67.2年。为了检验他的假设，他从公开记录随机选出了100个讣告作为随机样本,发现样本平均预期寿命是72，样本表春差是15。把 Xbar 定义为样本平均值，样本标准差 S，而且由于两都是来自随机样本，两都是随机变量。由于 然后用如下的假设检验.
零假设 (H0): $ \mu - 67.2 = 0 $
对立假设(Ha): $ \mu - 67.2 > 0 $
检验统计量: $ T = \frac{\bar{X} - 67.5}{\sqrt{(S^{2})/N}} \sim N(0,1) $.
决策规则: 若 $ T < Z_{\frac{\alpha}{2}} \parallel T > Z_{\frac{1-\alpha}{2}} $ 则选H0不然选Ha.
如上的 $ \alpha = </math '''P'''(判决规则让选Ha | H0正确) = '''P'''('''第一型错误''')。 反而'''第二型错误'''是判决规则让选H0|Ha正确.一般在这种假设检验，控制第一型錯誤的概率是最有限考虑。 从统计学模式识别的角度上看此假设检验，H0 和 HA是两种类别。随机特征向量是 T。研究者从T抽一次抽样值 t=（72 － 67.2）/(15 * 15 / 100) = 2。 在这<br> $
