(24 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 1: Line 1:
 
AC-2 2011
 
AC-2 2011
−
P1. C=<math>\begin{pmatrix}
+
 
−
B & AB\end{pmatrix}=<math>\begin{pmatrix}
+
P1.  
 +
 
 +
<math>\mathbf{a)} \qquad C=\begin{bmatrix}
 +
B & AB\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 
1 & -1 \\
 
1 & -1 \\
 
-3 & 3
 
-3 & 3
−
\end{pmatrix}
+
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>\Rightarrow \qquad Not \quad controllable. \qquad Subspace \begin{bmatrix}
 +
1  \\
 +
-3
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
<math>\mathbf{b)} \qquad 0=\begin{bmatrix}
 +
C      \\
 +
CA
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
3      & 1      \\
 +
6      & 2
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
Not observable.
 +
 
 +
<math>3x_1+r=0 \qquad  x_1=-\frac{1}{3}r  \qquad  span \begin{bmatrix}
 +
1      \\
 +
-3
 +
\end{bmatrix}  </math>
 +
 
 +
<math>\mathbf{c)} \qquad \lambda I-A=\begin{vmatrix}
 +
\lambda-2 & -1 \\
 +
0 & \lambda+1
 +
 
 +
\end{vmatrix} \qquad (\lambda-2)(\lambda+1)=0 \qquad \lambda_1=2 \qquad \lambda_2=-1 \\</math>
 +
 
 +
<math>\lambda=2 \qquad \begin{bmatrix}
 +
0 & -1 & 1 \\
 +
0 & 3 &-3
 +
\end{bmatrix} \\
 +
rank<2 \qquad associated \qquad with \\
 +
\qquad \qquad \lambda=2>0 \\ </math>
 +
 
 +
<math>\Rightarrow \qquad  not \qquad stablizable \\</math>
 +
 
 +
<math>\mathbf{d)} \qquad \lambda=-1 \qquad \begin{vmatrix}
 +
-3 & -1 & 1 \\
 +
0 & 0 & -3
 +
\end{vmatrix} \qquad rank=2 \\ </math>
 +
 
 +
<math>\Rightarrow \qquad \lambda=2 \qquad has \qquad to \qquad be \qquad eigeavalue  </math>
 +
 
 +
  <math>\Rightarrow \qquad \begin{bmatrix}
 +
1  &  -1
 +
\end{bmatrix}\qquad can \qquad not \qquad be \qquad eigeavalues  </math>
 +
 
 +
<math>\mathbf{e)} \qquad \lambda=2 \qquad \begin{bmatrix}
 +
0  &  -1      \\
 +
0  &  3        \\
 +
3  &  1
 +
\end{bmatrix}  \qquad  \lambda=-1  \qquad \begin{bmatrix}
 +
-3  &  -1      \\
 +
0  &  0        \\
 +
3  &  1
 +
\end{bmatrix} \\
 +
 
 +
unobservable \qquad modes \qquad associated \qquad to \qquad \lambda=-1 \\
 +
 
 +
which \qquad is \qquad stable \qquad \longrightarrow \qquad detectable \\ </math>
 +
 
 +
 
 +
<math>\mathbf{f)} \qquad \begin{bmatrix}
 +
\frac{\lambda I-A}{C}
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
-3  &  -1      \\
 +
0  &  0        \\
 +
3  &  1
 +
\end{bmatrix} \qquad \lambda=-1 \qquad rank<2 \\
 +
 
 +
must \qquad contains \qquad eigenvalue \qquad =-1 \\
 +
 
 +
let\qquad l=\begin{bmatrix}
 +
l_1      \\
 +
l_2
 +
\end{bmatrix} \qquad  A-lC=\begin{bmatrix}
 +
2      & 1      \\
 +
0      & -1
 +
\end{bmatrix}  -  \begin{bmatrix}
 +
3l_1      & l_1      \\
 +
3l_2      & l_2
 +
\end{bmatrix}\\
 +
\qquad  \qquad \qquad Ā =\begin{bmatrix}
 +
2-3l_1      & 1-l_1      \\
 +
-3l_2      & -1-l_2
 +
\end{bmatrix} \\
 +
 
 +
\lambda I-Ā=\begin{bmatrix}
 +
-3+3l_1      & l_1-1      \\
 +
3l_2      & l_2
 +
\end{bmatrix} \qquad  \lambda=-1 \\
 +
\qquad  \qquad (-3+3l_1)l_2-3l_2(l_1-1)=0 \\
 +
\qquad  \qquad 3(l_1-1)l_2-3l_2(l_1-1)=0\\
 +
\qquad  \qquad  Yes  \\ </math>
 +
 
 +
<math>\mathbf{g)} \qquad y(t)=CAX+Cbu \qquad \qquad u=0 \\
 +
y(t)=Ce^{At}X(0) \\
 +
(SI-A)^{-1}=\frac{1}{(S-2)(S+1)}\begin{vmatrix}
 +
S+1 & 1 \\
 +
0 & S-2
 +
 
 +
\end{vmatrix} \\
 +
=\begin{bmatrix}
 +
\frac{1}{S-2}      & \frac{\frac{1}{3}}{S-2}-\frac{\frac{1}{3}}{S+1}      \\
 +
0      & \frac{1}{S+1}
 +
\end{bmatrix}\\
 +
\xi^{-1}=(SI-A)^{-1}=\begin{bmatrix}
 +
e^{2t}    & \frac{1}{3}e^{2t}-\frac{1}{3}e^{-t}      \\
 +
0      & e^{-t}
 +
\end{bmatrix}=e^{At} \\
 +
y(t)=\begin{bmatrix}
 +
3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
e^{At}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1      \\
 +
0
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
3e^{2t} & e^{2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1      \\
 +
0
 +
\end{bmatrix}=3e^{2t}\\ </math>
 +
 
 +
P2.
 +
 
 +
<math>C(ZI-A)^{-1}B=C(ZI-A)^{-1}Ḃ \\
 +
\qquad C_1A^K_1B_1=C_2A^K_2B_2 \\
 +
\qquad C_1=C_2=C \\
 +
\qquad A_1=A_2=A \\
 +
\qquad observable \\
 +
\qquad CA \neq0 \\
 +
\qquad B_1=B_2 \\
 +
\qquad \Rightarrow B=Ḃ \\ </math>
 +
 
 +
P3.
 +
 
 +
<math>\begin{bmatrix} \\
 +
\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
\frac{1}{2}    & \frac{1}{2}  &  0      \\
 +
\frac{1}{3}    & \frac{1}{3}  & \frac{1}{3}  \\
 +
0              &  \frac{1}{2}  &  \frac{1}{2}  \\
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \\
 +
\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1    &    &        \\
 +
    & 1  &  \\
 +
              &    &  1  \\
 +
\end{bmatrix} \\ </math>
 +
 
 +
a) <math>\qquad \begin{bmatrix}
 +
\frac{1}{2}    & \frac{1}{2}  &  0      \\
 +
\frac{1}{3}    & \frac{1}{3}  & \frac{1}{3}  \\
 +
0              &  \frac{1}{2}  &  \frac{1}{2}  \\
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1      \\
 +
1      \\
 +
1      \\
 +
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 +
1      \\
 +
1      \\
 +
1      \\
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1    &    &        \\
 +
    & 1  &  \\
 +
              &    &  1  \\
 +
\end{bmatrix} \\ </math>
 +
 
 +
b) <math>(A)^k=ẞ_oI+Aẞ_1+A^2ẞ_2 \\
 +
\lambda I-A=\begin{bmatrix}
 +
\lambda-\frac{1}{2}    & -\frac{1}{2}  &  0      \\
 +
-\frac{1}{3}    & \lambda-\frac{1}{3}  & -\frac{1}{3}  \\
 +
0              &  -\frac{1}{2}  &  \lambda-\frac{1}{2}  \\
 +
\end{bmatrix} \\ </math>
 +
 
 +
<math>(\lambda-\frac{1}{2})^2(\lambda-\frac{1}{3})-(\lambda-\frac{1}{2})\frac{1}{6}-(\lambda-\frac{1}{2})\frac{1}{6}=0 \\
 +
\qquad \lambda^2-\frac{1}{3}\lambda-\frac{1}{2}\lambda+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=o \\
 +
\qquad \qquad \lambda^2-\frac{5}{6}\lambda-\frac{1}{6}=0 \\
 +
\qquad \qquad \qquad (\lambda-1)(\lambda+\frac{1}{6})=0  \\
 +
\qquad \qquad \lambda_1=1\qquad \lambda_2=\frac{1}{2}\qquad \lambda_3=-\frac{1}{6} \\
 +
\begin{bmatrix}
 +
\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}A=\begin{bmatrix}
 +
\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} \\
 +
\begin{bmatrix}
 +
\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}A^K=\begin{bmatrix}
 +
\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} \\  </math>
 +
 
 +
c) <math>(1)^k=ẞ_o+ẞ_1+ẞ_2 \\
 +
(\frac{1}{2})^k=ẞ_o+\frac{1}{2}ẞ_1+\frac{1}{4}ẞ_2 \\
 +
(-\frac{1}{6})^k=ẞ_o-\frac{1}{6}ẞ_1+(\frac{1}{6})^2ẞ_2 \\
 +
\Rightarrow \qquad ẞ_o=-\frac{1}{7} \qquad ẞ_1=-\frac{4}{7} \qquad ẞ_2=\frac{12}{7} \\ </math>
 +
 
 +
<math>A^k=ẞ_o+ẞ_1A+ẞ_2A^2 \\
 +
\qquad=\begin{bmatrix}
 +
\frac{2}{7}    & \frac{3}{7}  &  \frac{2}{7}    \\
 +
\frac{2}{7}    & \frac{3}{7}  & \frac{2}{7}  \\
 +
\frac{2}{7}    & \frac{3}{7}  &  \frac{2}{7}  \\
 +
\end{bmatrix}\\
 +
X[K]=A^KX[0]=[\overline{X}\qquad\overline{X}\qquad\overline{X}]^T \\ </math>
 +
 
 +
P4.
 +
<math>a)\qquad False \\
 +
b)\qquad False \\
 +
c)\qquad Ture \\
 +
d)\qquad Ture \\
 +
e)\qquad False \\ </math>
 +
 
 +
P5.
 +
 
 +
<math>a)\boldsymbol{\Phi}(t)=e^{\int_{0}^{t} A\, \mathrm{d}\boldsymbol{\tau}}=e^{\begin{bmatrix}
 +
\ln(t+1) & o \\
 +
\ln(t+1) & o \\
 +
\end{bmatrix}}=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\ln(t+1)} & o \\
 +
0 & 1 \\
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
1 & o \\
 +
-\ln(t+1) & 1 \\
 +
\end{bmatrix} \\
 +
\qquad \qquad = \begin{bmatrix}
 +
e^{-\ln(t+1)} & o \\
 +
-\ln(t+1) & 1 \\
 +
\end{bmatrix}\\
 +
\boldsymbol{\Phi}(t,\boldsymbol{\tau})=\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\tau})\boldsymbol{\Phi}^{-1}(t,\boldsymbol{\tau})=\begin{bmatrix}
 +
e^{-\ln(t+1)} & o \\
 +
-\ln(t+1) & 1 \\
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
e^{-\ln(\boldsymbol{\tau}+1)} & o \\
 +
-\ln(\boldsymbol{\tau}+1) & 1 \\
 +
\end{bmatrix}^{-1} \\ </math>
 +
 
 +
b) <math>\qquad t\rightarrow \infty \qquad e^{-\ln(t+1)}\rightarrow 0 \qquad -\ln(t+1)\nrightarrow 0 \\
 +
\boldsymbol{\Phi}(t)\nrightarrow 0 \qquad not\qquad asy \qquad stable

Latest revision as of 04:01, 20 May 2017

AC-2 2011

P1.

$ \mathbf{a)} \qquad C=\begin{bmatrix} B & AB\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \end{bmatrix} $

$ \Rightarrow \qquad Not \quad controllable. \qquad Subspace \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} $

$ \mathbf{b)} \qquad 0=\begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} $

Not observable.

$ 3x_1+r=0 \qquad x_1=-\frac{1}{3}r \qquad span \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} $

$ \mathbf{c)} \qquad \lambda I-A=\begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ 0 & \lambda+1 \end{vmatrix} \qquad (\lambda-2)(\lambda+1)=0 \qquad \lambda_1=2 \qquad \lambda_2=-1 \\ $

$ \lambda=2 \qquad \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 &-3 \end{bmatrix} \\ rank<2 \qquad associated \qquad with \\ \qquad \qquad \lambda=2>0 \\ $

$ \Rightarrow \qquad not \qquad stablizable \\ $

$ \mathbf{d)} \qquad \lambda=-1 \qquad \begin{vmatrix} -3 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} \qquad rank=2 \\ $

$ \Rightarrow \qquad \lambda=2 \qquad has \qquad to \qquad be \qquad eigeavalue $ 

  $ \Rightarrow \qquad \begin{bmatrix} 1  &  -1 \end{bmatrix}\qquad can \qquad not \qquad be \qquad eigeavalues   $

$ \mathbf{e)} \qquad \lambda=2 \qquad \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \qquad \lambda=-1 \qquad \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \\ unobservable \qquad modes \qquad associated \qquad to \qquad \lambda=-1 \\ which \qquad is \qquad stable \qquad \longrightarrow \qquad detectable \\ $


$ \mathbf{f)} \qquad \begin{bmatrix} \frac{\lambda I-A}{C} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \qquad \lambda=-1 \qquad rank<2 \\ must \qquad contains \qquad eigenvalue \qquad =-1 \\ let\qquad l=\begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \end{bmatrix} \qquad A-lC=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3l_1 & l_1 \\ 3l_2 & l_2 \end{bmatrix}\\ \qquad \qquad \qquad Ā =\begin{bmatrix} 2-3l_1 & 1-l_1 \\ -3l_2 & -1-l_2 \end{bmatrix} \\ \lambda I-Ā=\begin{bmatrix} -3+3l_1 & l_1-1 \\ 3l_2 & l_2 \end{bmatrix} \qquad \lambda=-1 \\ \qquad \qquad (-3+3l_1)l_2-3l_2(l_1-1)=0 \\ \qquad \qquad 3(l_1-1)l_2-3l_2(l_1-1)=0\\ \qquad \qquad Yes \\ $

$ \mathbf{g)} \qquad y(t)=CAX+Cbu \qquad \qquad u=0 \\ y(t)=Ce^{At}X(0) \\ (SI-A)^{-1}=\frac{1}{(S-2)(S+1)}\begin{vmatrix} S+1 & 1 \\ 0 & S-2 \end{vmatrix} \\ =\begin{bmatrix} \frac{1}{S-2} & \frac{\frac{1}{3}}{S-2}-\frac{\frac{1}{3}}{S+1} \\ 0 & \frac{1}{S+1} \end{bmatrix}\\ \xi^{-1}=(SI-A)^{-1}=\begin{bmatrix} e^{2t} & \frac{1}{3}e^{2t}-\frac{1}{3}e^{-t} \\ 0 & e^{-t} \end{bmatrix}=e^{At} \\ y(t)=\begin{bmatrix} 3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{At}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3e^{2t} & e^{2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=3e^{2t}\\ $

P2.

$ C(ZI-A)^{-1}B=C(ZI-A)^{-1}Ḃ \\ \qquad C_1A^K_1B_1=C_2A^K_2B_2 \\ \qquad C_1=C_2=C \\ \qquad A_1=A_2=A \\ \qquad observable \\ \qquad CA \neq0 \\ \qquad B_1=B_2 \\ \qquad \Rightarrow B=Ḃ \\ $

P3.

$ \begin{bmatrix} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \\ \end{bmatrix} \\ $

a) $ \qquad \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \\ \end{bmatrix} \\ $

b) $ (A)^k=ẞ_oI+Aẞ_1+A^2ẞ_2 \\ \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \lambda-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \lambda-\frac{1}{2} \\ \end{bmatrix} \\ $

$ (\lambda-\frac{1}{2})^2(\lambda-\frac{1}{3})-(\lambda-\frac{1}{2})\frac{1}{6}-(\lambda-\frac{1}{2})\frac{1}{6}=0 \\ \qquad \lambda^2-\frac{1}{3}\lambda-\frac{1}{2}\lambda+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=o \\ \qquad \qquad \lambda^2-\frac{5}{6}\lambda-\frac{1}{6}=0 \\ \qquad \qquad \qquad (\lambda-1)(\lambda+\frac{1}{6})=0 \\ \qquad \qquad \lambda_1=1\qquad \lambda_2=\frac{1}{2}\qquad \lambda_3=-\frac{1}{6} \\ \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}A=\begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}A^K=\begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} \\ $

c) $ (1)^k=ẞ_o+ẞ_1+ẞ_2 \\ (\frac{1}{2})^k=ẞ_o+\frac{1}{2}ẞ_1+\frac{1}{4}ẞ_2 \\ (-\frac{1}{6})^k=ẞ_o-\frac{1}{6}ẞ_1+(\frac{1}{6})^2ẞ_2 \\ \Rightarrow \qquad ẞ_o=-\frac{1}{7} \qquad ẞ_1=-\frac{4}{7} \qquad ẞ_2=\frac{12}{7} \\ $

$ A^k=ẞ_o+ẞ_1A+ẞ_2A^2 \\ \qquad=\begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \end{bmatrix}\\ X[K]=A^KX[0]=[\overline{X}\qquad\overline{X}\qquad\overline{X}]^T \\ $

P4. $ a)\qquad False \\ b)\qquad False \\ c)\qquad Ture \\ d)\qquad Ture \\ e)\qquad False \\ $

P5.

$ a)\boldsymbol{\Phi}(t)=e^{\int_{0}^{t} A\, \mathrm{d}\boldsymbol{\tau}}=e^{\begin{bmatrix} \ln(t+1) & o \\ \ln(t+1) & o \\ \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix} e^{-\ln(t+1)} & o \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & o \\ -\ln(t+1) & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \qquad \qquad = \begin{bmatrix} e^{-\ln(t+1)} & o \\ -\ln(t+1) & 1 \\ \end{bmatrix}\\ \boldsymbol{\Phi}(t,\boldsymbol{\tau})=\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\tau})\boldsymbol{\Phi}^{-1}(t,\boldsymbol{\tau})=\begin{bmatrix} e^{-\ln(t+1)} & o \\ -\ln(t+1) & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\ln(\boldsymbol{\tau}+1)} & o \\ -\ln(\boldsymbol{\tau}+1) & 1 \\ \end{bmatrix}^{-1} \\ $

b) $ \qquad t\rightarrow \infty \qquad e^{-\ln(t+1)}\rightarrow 0 \qquad -\ln(t+1)\nrightarrow 0 \\ \boldsymbol{\Phi}(t)\nrightarrow 0 \qquad not\qquad asy \qquad stable $

Retrieved from "https://www.projectrhea.org/rhea/index.php?title=ECE-QE_AC2-2011&oldid=73254"
Shortcuts
Help Main Wiki Page Random Page Special Pages Log in
Search

Alumni Liaison

Basic linear algebra uncovers and clarifies very important geometry and algebra.

Dr. Paul Garrett