EXERCISE
Assume $ |\alpha|<1 $
Compute the F.T. of $ x_1[n]=\alpha^{n}u[n] $
SOLUTION
$ \,\mathcal{X}_1(\omega)=\mathcal{F}(x_1[n])=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_1[n]e^{-j\omega n}\, $
$ \,=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha^{n}u[n]e^{-j\omega n}\, $
$ \,=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha^{n}e^{-j\omega n}\, $
$ \,=\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha e^{-j\omega })^{n}\, $
but $ \,|\alpha e^{-j\omega }|<1\, $
$ \,=\frac{1}{1-\alpha e^{-j\omega }}\, $
