AC-2 2011
P1.
$ \mathbf{a)} \qquad C=\begin{bmatrix} B & AB\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \end{bmatrix} $
$ \Rightarrow \qquad Not \quad controllable. \qquad Subspace \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} $
$ \mathbf{b)} \qquad 0=\begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} $
Not observable.
$ 3x_1+r=0 \qquad x_1=-\frac{1}{3}r \qquad span \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} $
$ \mathbf{c)} \qquad \lambda I-A=\begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ 0 & \lambda+1 \end{vmatrix} \qquad (\lambda-2)(\lambda+1)=0 \qquad \lambda_1=2 \qquad \lambda_2=-1 \\ $
$ \lambda=2 \qquad \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 &-3 \end{bmatrix} \\ rank<2 \qquad associated \qquad with \\ \qquad \qquad \lambda=2>0 \\ $
$ \Rightarrow \qquad not \qquad stablizable \\ $
$ \mathbf{d)} \qquad \lambda=-1 \qquad \begin{vmatrix} -3 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} \qquad rank=2 \\ $
$ \Rightarrow \qquad \lambda=2 \qquad has \qquad to \qquad be \qquad eigeavalue $
$ \Rightarrow \qquad \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}\qquad can \qquad not \qquad be \qquad eigeavalues $
$ \mathbf{e)} \qquad \lambda=2 \qquad \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \qquad \lambda=-1 \qquad \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \\ unobservable \qquad modes \qquad associated \qquad to \qquad \lambda=-1 \\ which \qquad is \qquad stable \qquad \longrightarrow \qquad detectable \\ $
$ \mathbf{f)} \qquad \begin{bmatrix} \frac{\lambda I-A}{C} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \qquad \lambda=-1 \qquad rank<2 \\ must \qquad contains \qquad eigenvalue \qquad =-1 \\ let\qquad l=\begin{bmatrix} l_1 \\ l_2 \end{bmatrix} \qquad A-lC=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3l_1 & l_1 \\ 3l_2 & l_2 \end{bmatrix}\\ \qquad \qquad \qquad Ā =\begin{bmatrix} 2-3l_1 & 1-l_1 \\ -3l_2 & -1-l_2 \end{bmatrix} \\ \lambda I-Ā=\begin{bmatrix} -3+3l_1 & l_1-1 \\ 3l_2 & l_2 \end{bmatrix} \qquad \lambda=-1 \\ \qquad \qquad (-3+3l_1)l_2-3l_2(l_1-1)=0 \\ \qquad \qquad 3(l_1-1)l_2-3l_2(l_1-1)=0\\ \qquad \qquad Yes \\ $
$ \mathbf{g)} \qquad y(t)=CAX+Cbu \qquad \qquad u=0 \\ y(t)=Ce^{At}X(0) \\ (SI-A)^{-1}=\frac{1}{(S-2)(S+1)}\begin{vmatrix} S+1 & 1 \\ 0 & S-2 \end{vmatrix} \\ =\begin{bmatrix} \frac{1}{S-2} & \frac{\frac{1}{3}}{S-2}-\frac{\frac{1}{3}}{S+1} \\ 0 & \frac{1}{S+1} \end{bmatrix}\\ \xi^{-1}=(SI-A)^{-1}=\begin{bmatrix} e^{2t} & \frac{1}{3}e^{2t}-\frac{1}{3}e^{-t} \\ 0 & e^{-t} \end{bmatrix}=e^{At} \\ y(t)=\begin{bmatrix} 3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{At}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3e^{2t} & e^{2t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=3e^{2t}\\ $
P2.
$ C(ZI-A)^{-1}B=C(ZI-A)^{-1}Ḃ \\ \qquad C_1A^K_1B_1=C_2A^K_2B_2 \\ \qquad C_1=C_2=C \\ \qquad A_1=A_2=A \\ \qquad observable \\ \qquad CA \neq0 \\ \qquad B_1=B_2 \\ \qquad \Rightarrow B=Ḃ \\ $
P3.
$ \begin{bmatrix} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \\ \end{bmatrix} \\ $
a) $ \qquad \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \\ \end{bmatrix} \\ $
b) $ (A)^k=ẞ_oI+Aẞ_1+A^2ẞ_2 \\ \lambda I-A=\begin{bmatrix} \lambda-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{3} & \lambda-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \lambda-\frac{1}{2} \\ \end{bmatrix} \\ $
$ (\lambda-\frac{1}{2})^2(\lambda-\frac{1}{3})-(\lambda-\frac{1}{2})\frac{1}{6}-(\lambda-\frac{1}{2})\frac{1}{6}=0 \\ \qquad \lambda^2-\frac{1}{3}\lambda-\frac{1}{2}\lambda+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=o \\ \qquad \qquad \lambda^2-\frac{5}{6}\lambda-\frac{1}{6}=0 \\ \qquad \qquad \qquad (\lambda-1)(\lambda+\frac{1}{6})=0 \\ \qquad \qquad \lambda_1=1\qquad \lambda_2=\frac{1}{2}\qquad \lambda_3=-\frac{1}{6} \\ \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}A=\begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix}A^K=\begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{bmatrix} \\ $
c) $ (1)^k=ẞ_o+ẞ_1+ẞ_2 \\ (\frac{1}{2})^k=ẞ_o+\frac{1}{2}ẞ_1+\frac{1}{4}ẞ_2 \\ (-\frac{1}{6})^k=ẞ_o-\frac{1}{6}ẞ_1+(\frac{1}{6})^2ẞ_2 \\ \Rightarrow \qquad ẞ_o=-\frac{1}{7} \qquad ẞ_1=-\frac{4}{7} \qquad ẞ_2=\frac{12}{7} \\ $
$ A^k=ẞ_o+ẞ_1A+ẞ_2A^2 \\ \qquad=\begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \end{bmatrix}\\ X[K]=A^KX[0]=[\overline{X}\qquad\overline{X}\qquad\overline{X}]^T \\ $
P4. $ a)\qquad False \\ b)\qquad False \\ c)\qquad Ture \\ d)\qquad Ture \\ e)\qquad False \\ $
P5.
$ a)\boldsymbol{\Phi}(t)=e^{\int_{0}^{t} A\, \mathrm{d}\boldsymbol{\tau}}=e^{\begin{bmatrix} \ln(t+1) & o \\ \ln(t+1) & o \\ \end{bmatrix}}=\begin{bmatrix} e^{-\ln(t+1)} & o \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & o \\ -\ln(t+1) & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \qquad \qquad = \begin{bmatrix} e^{-\ln(t+1)} & o \\ -\ln(t+1) & 1 \\ \end{bmatrix}\\ \boldsymbol{\Phi}(t,\boldsymbol{\tau})=\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\tau})\boldsymbol{\Phi}^{-1}(t,\boldsymbol{\tau})=\begin{bmatrix} e^{-\ln(t+1)} & o \\ -\ln(t+1) & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{-\ln(\boldsymbol{\tau}+1)} & o \\ -\ln(\boldsymbol{\tau}+1) & 1 \\ \end{bmatrix}^{-1} \\ $
b) $ \qquad t\rightarrow \infty \qquad e^{-\ln(t+1)}\rightarrow 0 \qquad -\ln(t+1)\nrightarrow 0 \\ \boldsymbol{\Phi}(t)\nrightarrow 0 \qquad not\qquad asy \qquad stable $
